MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 MÁXIMOS Y MÍNIMOS

INTEGRANTES

1-Yazmin Vázquez Facio
2-Marilyn Chamba Talingo

3-Mairani Alondra Hernández García

4-Jesus Gallegos Rodríguez

INDICE

1.-INTRODUCION  (máximos y mínimos)

2.-Función

*Tipos de función
3.-  ¿Para qué se representa en una gráfica?
4.-Definición de un máximo y un mínimo
5.-¿Qué es una derivada?

6.- ¿Cómo diferenciar un máximo de un mínimo?

7.-Puntos crecientes y decrecientes de una función

8.-Pasos para encontrar el máximo y/o mínimo de una función

* Formula general

* División sintética

9.- ¿Qué hacer para encontrar un máximo y/o un mínimo?

10.-Punto de inflexión.

*Como encontrar puntos de inflexión

11.-Definición de un máximo y un mínimo

12.-Ejercicios para practicar lo aprendido

13.-¿Para qué nos puede servir la aplicación de máximos y mínimos en la vida cotidiana?

14.-Conclusión

15.-Experiencia

16.-Aprendizajes adquiridos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

INTRODUCCIÓN

Una de las aplicaciones más útiles e interesantes de la derivada es el estudio de los valores máximos y mínimos de una función, la solución al problema de hallar extremos de una función tiene aplicación inmediata en distintas actividades del ser humano. Por ejemplo: en geometría interesa maximizar áreas y volúmenes; en física, minimizar distancias o tiempos; en economía se busca minimizar costos y maximizar las ganancias. Fermat descubrió métodos de diferenciación e integración encontrando los máximos y mínimos, también tuvo una de las primeras ideas sobre el cálculo diferencial y, con Pascal, inventó el cálculo de probabilidades. En este trabajo se muestra la forma en la cual se pueden obtener los valores máximos y/o mínimos de una función, involucrando conocimientos de geometría elemental.

Función: se dice que es una función, porque el valor de la primera depende solo del valor de la segunda, término usado para indicar la relación entre dos o más cantidades.

 Tipos de funciones

Función Lineal

y= 2x-3

Función cuadrática
formula: a x2 + bx + c
Grafica: curva llamada parábola.

Función real de variable real.

solo está definida sobre los números positivos.

Función Exponencial.

* Tiene propiedades de que al ser derivada se obtenga la misma función. etc.

Relación entre un conjunto dado "x" y otro conjunto de elementos "y"
Es una regla entre dos conjuntos (ejemplo "x" y "y") de manera que a cada elemento del primer conjunto "x" le toca uno y solo uno elemento del segundo conjunto "y"

¿Para que se representa en una gráfica?
Es una ayuda para darnos una idea de cómo va esa función en un plano cartesiano.
*se indican datos por lo general numéricos, usando cualquier simbología para ver, la relación que tienen los datos entre sí.

Una función con una variable dependiente y otra independiente, se representan en un eje de abscisas y ordenadas, al valor de cada variable y a la posición que ocupe.

Una función manifiesta atreves de una formula algebraica, cuando esa ecuación relacione las dos variables que intervienen.
Ejemplos:

*Multiplicar por 2 es una función simple.
*La raíz cuadrada, es una función.
*seno, coseno y tangente son funciones usadas en trigonometría.

DEFINICIÓN DE UN MÁXIMO Y UN MÍNIMO

Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una unción en un punto de la gráfica es decir un(máximo) va a ser aquel que toque la gráfica en su mayor valor y un mínimo seria el menor valor que toca en la gráfica.
Donde por medio de estos podemos encontrar Bases, Áreas, Perímetros, Volúmenes de figuras planas y mas cosas referentes al tema. Es Por Eso Que es importante el estudio de Máximos y Mínimos.

EJEMPLO:

¿QUE ES UNA DERIVADA? Una derivada es el resultado de un limite y se calcula multiplicando la potencia por el numero de "x" al mismo tiempo se le resta un 1 al exponente. la derivada de un numero es = 0

por ejemplo: x^3+2x^2+3x+5

derivada : 3x2+4x+3

¿Cómo diferenciar un máximo de un mínimo?

Se define como máximos a los puntos en los que la función f(x) pasa de creciente a decreciente. 

Se definen como mínimos a los puntos en los que la función pasa de decreciente a creciente.

*Si el resultado de la segunda derivada nos da un número mayor a cero al momento de graficar nos va a mostrar que existe un mínimo.

*Si nos da un valor igual a cero no existe ni máximo ni mínimo.

*Si nos da un valor menor a cero tendremos como resultado un máximo.

PUNTOS CRECIENTES Y DECRECIENTES DE UNA FUNCIÓN

Las funciones son crecientes y decrecientes en un cierto intervalo.

Se dice que una función es creciente cuando cuando el valor de x>0 (es mayor a cero) de tal manera que nuestra derivada se encuentra por encima del eje de las "x" siendo esta misma positiva.

Cuando es decreciente el valor de x<0 (es menor a cero) en este intervalo la derivada esta por debajo del eje de las "x" siendo esta misma negativa.

Ejemplo:

La función es constante cuando esta misma a la vez es creciente y decreciente (se mantienen constantes)
es decir : una función se dice que es "creciente" si al considerar dos puntos de su gráfica

"prevalece la relación <" se dice que una función es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica cambia ‍la relación "<x>"

PASOS PARA ENCONTRAR EL MÁXIMO Y/O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

(Con estos primeros 3 pasos se encontraran los puntos críticos o coordenadas en "x")

1.- Derivar la función.   Y=x^2-6x+7Y'=2x-6
2.- Iguala a cero la derivada.   2x-6=0
3.- Resuelve la ecuación que queda   2x=6x= 6\2x= 3 P.C

NOTA: EN caso de ser una ecuación cuadrática se resuelve con la formula general

Ejemplo:

Y=x^3+3x^2+2x-1

Y'=3x^2+6x+2

3x^2 es (a)

+6x es (b)
+2 es (C)

X= -6±√ (6)^2-4(3)(2) \ 2 (3)
X=-6±√36-24\6
X=-6±√12
X=-6±3.47/6

X=-6+3.47\6 = -0.42 P.C. 1 en "x"
X=-6-3.47\6 = -1.57 P.C. 2 en "x"

En los pasos 1, 2,3 se mostró como Encontrar las coordenadas en el eje de las "x" a continuación se muestra como como encontrar los valores en el eje de las "y" para así encontrar coordenadas precisas que sean nuestros puntos críticos.

*se sustituyen los valores de "x" en la ecuación original
Tomando como ejemplo los puntos críticos del ejemplo anterior se encontrarían de la siguiente manera:

VALOR:  -0.42 P.C. 1 en "x"

 Y=x^3 + 3x^2 + 2x -1

Y=(-0.42)^3+3(-0.42)^2+2(-0.42)-1

Y= -0.074+0.5292-1.84

Y= -1.3848 P.C. 1 en "Y"

VALOR: -1.57 P.C. 2 en "x"
Y=x^3 + 3x^2 + 2x -1
Y=(1.57)^3+3(-1.57)^2+2(-1.57)-1
Y= - 3.86 + 7.394 - 3.14 - 1
Y= -0.606 P.C. 2 en "Y"

NOTA: En caso de no ser una ecuación cuadrática o se resuelve factorizando o con una 
DIVICION SINTETICA

En la imagen anterior se muestra una ecuación resuelta con una división sintética

1ºla ecuación se a derivado

2º se trata de igualar a 0 pero como se puede apreciar la ecuación (4x^3-2x=0) no está bien ordenada, seria (x^3,x^2,x^1 y el numero)La ecuación seria (4x^3 +0x^2- 2x +0)=03ºpara comenzar la división se copian únicamente los números con su respectivo signo obtenidos en la 1ª derivada

3º se dejan espacio para los números que se van a sumar o restar y se dibuja una línea. A continuación se baja el primer número de la ecuación. (En este caso es el 4)

4º el numero en el cuadro azul tendrá que ser aquel que al final de la división te de cero (no específicamente tendría que ser cero pudiese ser 2, 3,7.etc.)

En la imagen anterior se hizo lo siguiente
+4 (verde) por 0 (azul) =0 (amarillo)

+0(verde) + 0 (amarillo) = 0 (rojo)

0 (rojo) por 0 (azul) =0 (amarillo)
-2 (verde) + 0 (amarillo)= -2( rojo)
-2( rojo) por 0 (azul) =0 (amarillo)
0(verde) + 0 (amarillo) = 0 (rojo)

Nota= si al final de tu división este número te da 0 significa que has resuelto bien tu división sintética.
6º con estos números (+4 (verde),0 (rojo), -2( rojo) y 0 (rojo)se hace una ecuación nueva copiando estos números, como ya hemos encontrado una solución ya no podemos empezar por una x^3 como en un principio sino con x^2 y así con su respectivo orden.

* La ecuación nueva se muestra en la imagen en color
azul en la parte inferior.

Qué hacer para encontrar un máximo y/o un mínimo?
si sólo se quiere saber cuántos máximos o mínimos tiene dicha función basta con obtener tus puntos críticos ósea calcular la primera derivada, igualar a cero, despejar la "obtener y sustituir el o los puntos críticos en la segunda derivada en la cual nos mostrara si hay un máximo o un mínimo (o ambos).

Ejemplo 1
si mi punto crítico P.C. es 2
Y=x^3-3x
Y'=3x^2-3
Y"=6x
Y"=6(2)
Y=12 = (+)................ (El resultado no importa sino el signo que obtengas) en este caso es un MINIMO

Ejemplo 2
si mi punto crítico es=-0.42 P.C

Y=x^3+3x^2+2x-1

Y'=3x^2+6x+2

Y''=6x+6=6( -0.42 )+6= (+) …………En este caso es un MÁXIMO

Ejemplo 3
si mi punto crítico es: -1.57 P.C
Y=x^3+3x^2+2x-1

Y'=3x^2+6x+2

Y''=6x+6=6( -1.57 P.C )+6= (- ) En este caso es un MÁXIMO

*Para hacer más precisa nuestra gráfica podemos buscar donde se encuentra el punto de inflexión

PUNTO DE INFLEXIÓN.

Es un punto donde los valores de "x" de una función hace un cambio en el sentido de la parábola (curva)

Se define un punto de inflexión: donde la función pasa de ser "convexa" a "cóncava" ó "cóncava" a "convexa".

Se dice que una función es convexa: si la Parábola esta "hacia arriba" (curva) son positivos.

Se dice que una función es cóncava: si la parábola esta hacia abajo (curva) son negativos.

¿Cómo encontrar los Puntos de Inflexión?

Simplemente se obtiene:
1-La segunda Derivada de La Función.

Y= x^3+4y'= 3x^2

y''= 6x2

-Iguala a Cero.

6x= 0

3- Despeja

.x= 0/6

x=0

Para encontrar la coordenada en "y”:
1-se sustituye el valor de la segunda derivada (valores de "x") en la primera función.
y= 0^3+4y= 4

y así al graficar encontraremos el "punto de inflexión".

EJERCICIOS PARA PRACTICAR LO APRENDIDO

2. Encuentra el puto de inflexión si los tiene, y si los tiene encortar sus coordenadas.

Y= -x^3+10x9^2-12x+1
Y=4(x+2)^2/3
Y=1/3x^3+3x^2+5x+1

3. Encuentra y gráfica puntos críticos, puntos de inflexión, la coordenada del mínimo, la coordenada del máximo, de qué punto a qué punto es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Y= x^-6x+7
Y= x^3+3x^2+2x-1
Y= x^-3x
Y=x^4-4x^3+2x^2-1
Y= x^4+2x^3-7
Y= 3x^4-4x^3-6x^2+x-6
Y=(x-2) 3/2+6

¿Para qué nos puede servir la aplicación de máximos y mínimos en la vida cotidiana?

Puede ser que muchos alguna vez se hayan preguntado esto y que incluso hayan creído que esto no sirve para gran cosa, pero es todo lo contrario.
Esto se utiliza muchísimo en procesos en donde necesitas calcular estas determinaciones, ya sean en ventas anuales, producción, mantenimiento preventivo/correctivo, ingeniería de diseño, determinar gastos en movilidades de un mes, etc.

Por ejemplo si en una pizzería se pretende ahorrar cartón de cajas, para que la pizza se entienda de un "buen tamaño" y al mismo tiempo se ahorre cartón. Así que con una ecuación de máximos se puede calcular el volumen de la misma para que allá un menor desperdicio ósea maximizar áreas y volúmenes.
nos ayuda a resolver problemas cotidianos ya sea se cualquier ámbito (ingeniería, física, economía, medicina), de cualquier cosa donde exista el resolver variables.

CONCLUCION

·         Podemos concluir con que los máximos y mínimos no es un tema difícil. Vasta con entender su comportamiento con base a su función.
      se abarcaron los temas necesarios para que el alumno entienda paso a paso lo que es un máximo y un mínimo.

       En cuanto hayas leído esto notaras que encontrar máximos y mínimos de una función es solo procedimiento y conocimiento de factorización.

·         Este fue un trabajo echo para tratar de facilitar el entendimiento de como resolver, para que son, que los conforma y que son los máximos y mínimos.

·         Es un trabajo echo por estudiantes, los cuales pretenden que esto ayude a resolver algunas dudas que tengas con respecto al tema.

·         Los máximos y mínimos no son complicados (solo hay que conocer lo esencial en algebra) Entenderlas nos servirá de mucho ya que nos ayudan de una manera sencilla a entender rápidamente la estadística que se requiera.

·         Esperando que les sea de utilidad y que se entiendan los conocimientos que aquí se brindan.

EXPERIENCIA

·         Cuando ya has estudiado sobre este y cualquier otro tema de “calculo" te darás cuenta que practicando lo aprendido y haciendo ejercicios es como aprendes.

·         Si te trabas en algo pregunta a tu profesor o profesora, y no te quedes con la duda.

·         Ve tutoriales en YouTube

·        Puedes tomar asesorías para que se facilite tu entendimiento con la materia.

·         Reúnete con tus compañeros para que compartan conocimientos y resuelvan sus dudas.

·         Dale un repaso al álgebra y geometría elemental.

·         Consulta libros que hablen del tema.

APRENDIZAJES ADQUIRIDOS

·         Al tratar un tema como máximos y mínimos te das cuenta que es fácil hacer las cosas para resolver el ejercicio ya que sólo son una serie de pasos a seguir, lo difícil es explicar lo que estás haciendo, ya que a veces no encuentras las palabras correctas para describir algo tan sencillo.

·         Este trabajo nos ayudó mucho para tratar de expresar lo que tu entiendes sobre el tema y para entenderlo aún mejor, te das cuenta que no es fácil definir o tratar un tema y aún más complicado siendo un tema como lo son las Matemáticas.

·         este tema puede ser muy fácil si se sabe graficar, su entendimiento es más sencillo.

AQUÍ TE DEJAMOS UN VÍDEO CON UN EJERCICIO COMPLETO PARA UNA MAYOR COMPRENCION DEL TEMA.

http://youtu.be/v5JzibLHcvo




BIBLIOGRAFIA
Hildebrant, S., Tomba, A., 1990,
Matemática y Formas Optimas, Barcelona,
Prensa Científica S.A.

Cecilia Teresa, 2013, Máximos y mínimos de una función. Recuperado de:
http://es.slideshare.net/ceciliateresa/maximos-y-minimos-de-una-función.com

Karen Rivas (2012) Funciones matemáticas Recuperado de:
http://www.monografias.com/trabajos75/funciones-matematicas/funciones-matematicas.shtml
Vitutor (2014) Puntos de Inflexión de una función Recuperado de:
http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html